Incisive - ciò chì hè sta? Cumu truvà u diffirinziali di a funzione?

Nsemi Derivati e so funzioni incisive - si parechji di i cuncetti basi di lu calculu diffirinziali, lu sizzioni menu di anàlisi matimàtica. As liatu, traminduie, parechji seculi anchiamènti usatu in risolviri guasi tutti i prublemi chi si svilupparu in u cursu di l 'attività scientificu è tecnicu.

A nascita di u cuncettu di diffirinziali

Per u prima tempu fici lu chjaru chì tali un diffirinziali, unu di li fundaturi (nzèmmula Isaakom Nyutonom) diffirinziali calculu famusu matimàticu Gotfrid Vilgelm Leybnits. Nanzu chì un matematicu u 17u seculu. usatu 'idea assai chiaru e jardinier di qualchi dô "undivided" di ogni funzione cunnisciuti, rapprisenta un picculu valore custanti, ma micca uguali à zeru, sottu chì valurizeghja a funzione ùn pò esse solu. Induve era solu unu passu à i testi di e nuzione di increments dô di argumenti funzione è a so rispittivu increments di a funzioni chi pò èssiri spressu in termini di Derivati di l 'ùrtimi. E stu passu hè stata quasi simultaneously lu sopra à dui gran scentifichi.

Basatu nantu à u bisognu di affruntà urgente pratica miccanica prublemi chi di qualità anziane, scienza rapidamenti di sviluppà 'industria è tecnulugia, Newton e canciu creatu u modu cumunu di truvannu la funzioni di u tassu di cambià (in particulari cun riguardu à a vitezza miccanicu di u corpu di u trajectoire cunnisciutu), ca purtau a la ntruduzzioni di cuncetta, comu la funzioni derivative è i diffirinziali, è ancu trovu a suluzioni à u prublema algutitimu beta comu sapiri S se (variàbbili) par acceleratu traslatu à truvà u chjassu chì hà purtatu à u cuncettu di integrata Ala.

In l 'òpiri d' improvvisu canciu è Newton di prima si vede chì i incisive - hè prupurziunali a lu incrément di l 'argumenti basi Δh increments funzioni Δu chì ponu esse applicata successu di calculari lu valuri di lu sicunnu. In autri paroli, hanu scupertu chì una funzione incrément pò esse à ogni puntu (moins de u so duminiu di definizione) hè spressu traversu u so derivative tramindui Δu = Y '(x) Δh + αΔh induve α Δh - restu, cunducia a zeru comu Δh → 0, assai forti cà i veri Δh.

Sicondu à i soci di anàlisi matimàtica, lu incisive - sta hè esattamente a prima parolla in increments di ogni funzioni. Ancu senza avè un quatru eticu peptide cuncettu limitu sò capitu intuitively chì i valori diffirinziali di a derivative tenni a alfabbetu quandu Δh → 0 - Δu / Δh → canta '(x).

Cuntrariu di Newton, chi era principalmente un fisicu è lignu matimatica cunzidiratu comu nu strumentu ausiliari pi lu studiu di prublemi fisicu, canciu pagatu di più attenti à stu cunnizzione, macari un sistemu di sìmmuli visuale è comprehensible valori matimàtichi. Era quellu chì prupone i decimal mudellu di funzione incisive onda = Y '(x) dx, dx è u derivative di a funzione argumentu cum'è u so raportu canta' (x) = onda / dx.

A definizione mudernu

Cosa hè u diffirinziali in termini di matimàtica muderna? Hè èssiri culligata cu lu cuncettu di nu incrément variàbbili. Se la variàbbili si piglia una prima valori di Y Y = _1, puis Y = Y _2, a diffirenza Y ₂ ─ si ₁ si chjama u valore incrément canta. U incrément pò esse pusitivu. negativu è zeru. A parolla "incrément" veni lassatu Δ, Δu Scuola (leghje 'delta dû canta') c'è lu valuri di la incrément canta. tantu Δu = Y ₂ ─ Y _1.

Sè u valori Δu funzione arbitrarie Y = f (x) pò essiri rapprisintatu Δu = A Δh + α, induve Un hè micca a dipindenza su Δh, t. E. A = const di i detti x, è lu tèrmini α quandu Δh → 0 tenni a hè ancu forti cà i veri Δh, tandu u primu ( "signore") un termine prupurziunali Δh, è hè per (x) diffirinziali Y = f, denoted onda, o DF (x) (leghje "Y de", "De eff da X"). Dunque incisive - un linéaire "principali" incù u rispettu di i cumpunenti di increments funzioni Δh.

spiegazione miccanicu

A Canzona di = f (t) - la distance à una ligna drittu diriggennusi puntu materia da u pusizzioni nizziali (t - tempu pass). Incrément Δs - hè u puntu di manera durante una tretu tempu Δt, è u DS diffirinziali = f '(t) Δt - sta strata, chi puntu avissi a essiri tinia di u listessu tempu Δt, siddu mantinutu lu battutu f' (t), arrivau a tempu va . Quandu un dô Δt DS chjassu imaginariu diffirisci da u Δs attuale infinitesimally avè un ordine supiriuri incù u rispettu di Δt. Sè u battutu in u tempu va ùn hè uguali à zeru, u DS apprussimata valori dà picculu puntu lu priggiudizziu.

spiigazione moderna

Chì la linia L hè a chat di Y = f (x). Allora Δ x = mq, Δu = pyramide '(vede. Figure sottu). Tangente MN U Δu tagliata in dui parti, qn francese è NM '. Prima è Δh hè prupurziunali qn francese = mq Surnaturel vo (QMN, angle) = Δh f '(x), t. E qn francese hè diffirinziali onda.

A seconda parte di a diffarenza Δu NM'daet ─ onda, quandu Δh lunghezza → 0 NM 'decreases ancu tête u incrément di l' argumentu, pruposta hè l 'ordine di chjuchezza supiriuri Δh. In stu casu, se m '(x) ≠ 0 (tangente non-paralleli envoi) spichji QM'i qn francese equivalenti; in altre parolle NM 'decreases rapidamenti (ordine di chjuchezza di u so bulu) cà u incrément tutali Δu = pyramide'. Ghjè dinù in Figure (toltu linìa M'k M NM'sostavlyaet tutte e prus pircintuali pyramide 'linìa).

So, graphically diffirinziali funzione arbitrarie hè uguali à u incrément di u ordination di u tangente.

Derivative è diffirinziali

A puntu in la prima parolla di funzione sprissioni incrément hè uguali à i valori di u so f francese derivative '(x). Cusì, i seguenti trattendu - onda = f '(x) Δh o DF (x) = f' (x) Δh.

Hè cunnisciutu chì u incrément di l 'argumentu indipendente hè uguali à u so diffirinziali Δh = dx. Pràtica, si pò scrive: f (x) dx = onda.

Truvannu (qualchì volta disse à esse u "decisione") incisive si svorgi pi li stissi reuli comu di l 'Derivati. A lista di li hè datu quì sottu.

Cosa hè di più univirsali: la incrément di l 'argumentu o di u so diffirinziali

Quì ci vole à fà qualchi realtà. Rapprisintazzioni valori f '(x) diffirinziali Δh pussibili quandu cunsidirari X cum'è un argumentu. Ma l 'funzione pò esse un cumplessu, in cui X pò esse una funzione di l' argumentu t. Allora u la rapprisintazzioni di la sprissioni diffirinziali di f '(x) Δh, cum'è una regula, hè impussibule; francu in u casu di a dipindenza linéaire x = a + b.

As a la fòrmula f '(x) dx = onda, tandu in lu casu di lite X indipendente (tandu dx = Δh) in lu casu di a dipindenza paramétrique di x t, hè diffirinziali.

Per esempiu, i sprissioni 2 X Δh hè per Y = X ² u so diffirinziali quandu X hè un argumentu. Avemu oghje x = T ² è dinò l 'argumentu. Allora Y = X ² = T ^4.

Stu hè siguita (t + Δt) ² = T ² + 2tΔt + Δt ^2. Faci Δh = 2tΔt + Δt ^2. Faci: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Sta sprissioni ùn hè micca prupurziunali a Δt, è dunque hè avà 2xΔh ùn hè diffirinziali. Si pò esse trovu da l 'equazzioni Y = X ² = T ^4. Hè uguali onda = 4t ³ Δt.

Sè noi piglià u 2xdx sprissioni, hè u diffirinziali Y = X ² per ogni argumentu t. Anzi, quandu x = T ² venenu dx = 2tΔt.

So 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. L'incisive sprissioni arregistrata da dui variàbbili differente cunfidirazzioni.

Sustituì increments incisive

Sè m '(x) ≠ 0, puis Δu è onda equivalenti (quandu Δh → 0); se m '(x) = 0 (significatu è onda = 0), ch'elli ùn sò equivalenti.

Per esempiu, s'ellu Y = X ^2, allura Δu = (x + Δh) ² ─ X ² = 2xΔh + Δh ² è onda = 2xΔh. Sè x = 3, allura avemu Δu = 6Δh + Δh ² è onda = 6Δh chì sò equivalenti a causa Δh ² → 0, quandu x = 0 valori Δu = Δh ² è onda = 0 Ùn sò equivalenti.

Stu fattu, assemi cu l 'armata di a struttura di u diffirinziali (m. E. lunaire incù u rispettu di Δh), eni spissu usatu in càlculu apprussimata, in u pensà chi Δu ≈ onda di picculu Δh. Truvà a funzione diffirinziali sòlitu faciuli cà di calculari lu valuri di esatta di u incrément.

Per esempiu, avemu cubo metalliche cu mura x = 10,00 cm. On scaldà la riva s'allungavanu su Δh = 0.001 cm. Cumu cresce vulume cubo V? Avemu V = X ^2, tantu chi die = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ¹⁰ February 0/01 = 3 (CM ^3). Cresce ΔV equivalenti diffirinziali die, tantu chi ΔV = 3, cm ^3. calculu Full avissi a dari ³ ΔV = 10,01 ─ di marzu ¹⁰ = 3.003001. Ma u risultatu di tutte e pie, francu u prima unreliable; dunque, hè sempre necessaria a forma à 3 cm Lingua ^3.

Currispundenu, sta dimarchja hè interessante solu s'ella hè pussibule à cuntà i valori cravatta cù errore.

funzione diffirinziali: esempi

Chì a l'à pruvà à truvà u diffirinziali di a funzione Y = x ^3, truvannu la derivative. Chì ci dà l 'argumentu incrément Δu e difinizzioni.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Quì, u studium A = 3x ² ùn dipennunu Δh, tantu chi la prima parolla è prupurziunali Δh, l '' altri membri 3xΔh Δh ² + ³ quandu Δh → 0 decreases tête u incrément di l 'argumentu. Di cunsiguenza, un membru di 3x ² Δh hè u diffirinziali di Y = x ^3:

onda = 3x ² Δh = 3x ² dx, o d '(x ³⁾ = 3x ² dx.

Allora d '(x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Onda Avemu avà truvà a funzione Y = 1 / X da i derivative. Allora d '(1 / x) / dx = ─1 / X ^2. Dunque onda = ─ Δh / X ^2.

Incisive funzioni algebbrica basi sò dati quì sottu.

calculi apprussimata cù diffirinziali

À evaluate la funzioni f (x), è u so derivative f '(x) à x = un hè spessu difficiule, ma a fari lu stissu a l' vicinanza di x = una ùn hè micca facile. Tandu vene à u succorsu di l'espressione apprussimata

f (un + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Stu dà un valori apprussimata di a funzione à picculu increments à traversu u so diffirinziali Δh f '(a) Δh.

Per quessa, sta fòrmula duna un 'esprissioni apprussimata di u funzione à u puntu di fini di una parte di una lunghezza Δh comu na summa di u so raportu à u puntu di partenza di u piattu (x = a) è l' diffirinziali in u listessu puntu. Pricisioni di u mittudu di serenità i valori di a funzione sottu è u disegnu.

Tuttavia cunnisciutu è i sprissioni esattu di i valori di a funzione x = una + Δh datu da fòrmula increments core (o, viciversu, fòrmula di Lagrange)

f (un + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

induve u puntu x = una + ξ hè in su tretu da x = à x = una + Δh, ancu s'è a so pusizioni esatta hè scunnisciutu. A fòrmula esatta permette à evaluate l 'errore di la fòrmula apprussimata. Sè noi mette in la fòrmula ξ Lagrange = Δh / 2, puru siddu si finisci a èssiri pricisa, ma dà, cum'è un duminiu, una dimarchja assai megliu chè l 'esprissioni uriginale in termini di u diffirinziali.

errore formuli valutazione da entrata diffirinziali

Misurendu strumenti , in principiu, inaccurate, è purtà à i dati misurazzioni currispundenza à l 'errore. Iddi sò caratterizata da limitannu lu errore assolutu, o, in cortu, u errore limitu - pusitivu, di più chjaramente u errore in valore assulutu (o à più uguali a lu). Limitannu lu errore parente hè chjamatu u quotient acquistatu da dividendu è da u valore assulutu di u valore misura.

Chì esatta fòrmula Y = f (x) funzione usatu pi vychislyaeniya canta, ma i valori di x hè u risultatu misura, è dunque, danu u errore canta. Allora, à truvà i limitannu errore assolutu │Δu│funktsii canta, usannu la fòrmula

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

induve │Δh│yavlyaetsya argumentu errore marginali. │Δu│ quantità deve esse catturati quassù, cum'è calculu inaccurate stessa hè a sustituiri di u incrément u calculu diffirinziali.