Differential calculi di una funzione di una e varias variàbili

U calculu diffirenzju hè una rùbbrica di l'analisi matematicu chì studia u derivativu, i diferenciali è u so usu in l'astu di una funzione.

Storia di l'apparizione

U calculu diffirinziali era spartutu in una disciplina indipendente in a seconda mità di u 17u seculu, grazi à l'opere di Newton è Leibniz, chì formulò a proposition basica in u calculu di i diferenciali è avènduli a cunnessione entre l'integrazione è a diferenciazione. Da quellu momentu, a disciplina hà sviluppatu cù u calculu di integrali, cusì formanu a basa di l'analisi matematicu. L'apparizione di sti calculi aperta un novu periodu mudernu in u mondu matemàticu è ha causatu l'emergenza di novi disciplinesi in a scienza. Havi crescita a pussibilità di applicà a scienza matematica in a scienza naturale è a tecnulugia.

Cuncetti basi

U calculu diffirenzju hè basatu annantu à i cuncetti fundamentali di a matematica. Hè: un veru numaru, continuità, funzione è limite. Dopu un pocu si piglianu un attempu mudernu, grazi à i calculi integrali è diffirenti.

Prucessu di creazione

A furmazione di u calculu diffirinziali in a forma di appiicata, è da u metudu scientificu, hè devenu prima l'emergenza di a teoria filosofica chì fù creata da Nikolai Kuzansky. E so opere sò cunzidiratu l'evoluzione evoluzione da i ghjudizii di a scienza antica. Malgradu u fattu chì u filòsufu stessu ùn era micca un matimaticu, u so cuntributu à u sviluppu di a scienza matematica hè inneggie. Kuzansky hè unu di i primi d'abbandunà u prugettu di l'aritmetica com'è u campu più preziosu di a scienza, mette a matematica di quellu tempu in dubbitu.

In i matematichi antichi, u criticu universale era una unità, mentri u filosofu offrìu cum'è una nova dimensione infinitu in u locu di un nummiru precisu. In questu cunnessione, a rappresentanza di precisione in a scienza matematica hè inverita. U cunnuscenza scientifica, sicondu l'ellu, hè divisu in raziunale è intellettuale. U sicondu hè più precisa, sicondu u scientificu, postu chì u primu allora solu un resultat appruvistatu.

Idea

L'idea basica è u cuncettu in u càlculu diffirenti sò assuciati cù a funzione à i quartierzii di quattru punti. Per questu, hè necessariu creà un apparatu matimàticu per l'estudo di una funzione chì u cumpurtamentu in un vechju vicinu di i punti stabiliti hè vicinu à u cumpurtamentu di un polynomial o di una funzione linearizata. Questa hè basatu nantu à a definizione di u derivativu è u diferencialu.

L'emergenza di u cuncettu di derivativu hè stata causata da un gran numaru di prublemi da e corsi naturali è di a matematica, chì hà purtatu à a truvazione di valute di limiti di un tipu.

Una di e cumpetenze principale chì sò datu cum'è un esempiu, cuminciendu cù i scoli d'u livellu, hè a determinazione di a vilicità di un puntu in una linea recta è a custruzzione di una cingulu tangente à a curva. U diferenziu hè relatatu à questu, postu chì hè pussibule l'appruviserà a funzione in un vitturinu di u puntu di a funzione lineale in questa.

In cunfratura cù u cuncettu di a derivata di una funzione di una verità variata, a definizione di diffirenti simplicemente passa per una funzione di una natura generale, in particulari, à l'imaghjini di un spaziu euclidianu à un altru.

U derivativu

Chì u puntu si move in a direzzione di l'assi di Oy, in u tempu, avemu pigliatu x, chì hè misurata da un certu puntuale di u mumentu. Scrivite un tali movimentu da a funzione y = f (x), chì currisponde à ogni momentu momentu x di a coordenada di u puntu mugitu. A questa funzione in i meccanichi deve esse chjamata a liggi di u moociu. A caratteristica principale di u muvimentu, in particulare uneven, hè a veloce instantània. Quandu u puntu si move in u liceu Oy sicondu a liggi di i meccanichi, dopu à un momentu aleatu, accupa a coordenada f (x). À u momentu momentu x + Δx, induve Δx denota l'incrementu di u tempu, a so cadinata serà f (x + Δx). Questa hè a forma di a formula Δy = f (x + Δx) - f (x) hè furmatu, chì hè chjamatu l'incrementu di a funzione. U riprisenta una via traversata in un tempu da x à x + Δx.

In cunnessione cù l'apparizione di sta veloce, un derivatu hè intrutu in l'urdinariu di u tempu. In una funzione arbitraria, a derivativa à un puntu fissi hè chjamatu u limitu (sottu a cundizzioni di a so esistenza). Pò esse distinatu da certi simboli:

F '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

U processu di calculà un derivativu hè chjamatu differenze.

Càlculu Differential di una funzione di varià variàbili

Stu metudu di calculu hè utilizzatu in u studiu di una funzione cù assai variate. In a presenza di dui variàvelli x and y, a derivata paritale cù rispettu à a puntà à u puntu A hè chjamatu u derivativu di questa funzione à rispettu à i x con y fissi.

Pò esse denote da i seguenti caratteri:

F '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x, o ∂f (x, y) '/ ∂x.

Accunciatori necessarii

Per apprendre è megliurà è pudè esse resoluze difusori, i capacità in integrazione è a diferenciazione sò obligatoriati. Per fà più faciule per capiscenu l'equazioni diffirenti, unu deve esse cumprate cusì u sughjettu di a derivata è l' integral indefinite. Ùn hè micca degnu d'amparà à circà un derivativu di una funzione implicitamente definita. Questu hè dovutu à u fattu chì in u prucessu di studià, hè spessu necessariu d'utilizà integrazii è di diferenza.

Tipi d 'equazioni diffirenti

Prestu in tutti i travaglii di cuntrollu riguardanti ecuazioni differenzali di primu pruduttu, ci sò 3 tipi d'equazioni: homogeni, cun variàbili separable, lineale non homogeni.

Ci hè ancu più varietà rara d 'equazioni: cù i diferenciali cumpleti, l'equazioni di Bernoulli è altri.

Sò Fundazioni

Per principià, si deve cuntene l'equazzioni algebbrica da u cursu di scola. Cuntenenu variàbili è numeri. Per risolvi l'equazioni ordinali, ci hè bisognu di truvà un gruppu di numeri chì aghjustanu a cundizione datu. Comu regula, l'equazioni per esse l'avìanu una raianu, è per verificà a correczione, era solu necessariu di sustituverà stu valore per u locu di u unknown.

L'equazioni diffirenza hè simili à questu. In generale, questa equazione di primu modu comprende:

• Variable indepunente.
• A derivativa di a prima funzione.
• Funzione o varianti dependenti.

In certi casi, una di e sfarenti, x o y, pò esse assenti, ma questu ùn hè micca cusì impurtante, postu chì hè necessariu avè u primu derivativu, senza derivative di ordine superiore, perchè chì a suluzione è u càlculu diffirenti sò correcti.

Per risolvi l'equazioni diffirenti hè di truvà u gruppu di e funzioni chì si mette à l'espressioni dati. Un tali funzione hè spessu chjamata a suluzione generale di DW.

Càlculu integrale

U calculu integrale hè unu di e sezzione di l'analisi matematicu chì studia u cuncettu di una integral, i pruprietà è i metudi di a so computazione.

Spessu, u calculu di a integral fa quessu à calculà a zona di una figura curvilinearia. In questa zona hè significatu u limitu chì a zona di un poligonu inscrittu in una figura dada hà presumatu à aumentà gradualmentamente a so banda, mentri li dati latini si ponu sete sforzu di menu di qualsiasi valore arbitraria pocu pricicu.

L'idea principale di calculà l'arghjintinu di una figura arbitraria geometrica hè di calculà a zona di un rectangulu, per esse a pruvucari chì a so zona hè uguali à u pruduttu di a largità è l'larghezza. Quandu vene à a geomitria, allora tutti e custruzzioni sò fatti cù un capu è una cumpassione, è a ratio entre a larghezza è a larghezza hè un valori raziunale. Quandu si calculau l'area di un triangulu rectangulari, pudete stabilisce chì, se puscia u listessu triangulu chì tocca à ellu, un rectangulu hè stituitu. In u parallelogram, l'area hè calculata da un modu simili, ma pocu più cumplessu, à traversu un rectangulu è un triangulu. Nti poligrafichi, l'arghjintinu hè stituutu traversu i trianguli chì inseritu.

Quandu a determinazione di a misericòrdia di una curva arbitraria, stu mètudu ùn funziunava micca. Sè vo site in u quatru simplicitore, ùn anu da esse unificati. In questu casu, pruvate d'utilizà duie tappe, cù rettangoli nantu à a cima è u fondu, per questu quì include una funzione di grafia è micca micca. Impurtante hè u modu per rumpiri sti rectanguli. Inoltre, si avemu da piglià più di più è averebbe, l'area da l'altitudine è di l'abate sò cunvergne in un certu valore.

Hè necessariu di ritornu à u metudu di dividendu in rettanguli. Ci sò dui mètudi populari.

Riemann furmalizeghja a definizione di a integral, creata da Leibniz è Newton, cum'è l'area di u sottografu. In questu casu, cunsidereghja i figuri cumminati di una quantità di rectanguli vertichi è uttenuti di dividinu u segmentu. Quandu ci hè un limitu à a riduzzione di u scundiziu, à quale l'area di sta figura reduci, questu limitu hè chjamatu Riemann integral di una funzione in un intervallu.

U second u metudu hè a custruzzione di u integral Lebesgue, chì cunsiste à dividendu a so ranchità di valori in intervalli di dividir u duminiu in parti di l'integrand è dopu cumpilate a summa integrale da i valori alcunu obtenuti in queste parti, è dopu sdruce cù e misure pertinenti di i preimagini di questi integrali.

Avvisi muderni

Unu di i manichi principali di u studiu di u calculu diffirenti è integral hà scrittu da Fichtenholz, "U Cursu di Càlculu Differential è Integrali". U so libru di testu hè un aiutu fundamentale in l'studiu di l'analisi matematicu, chì hà retrocedutu assai pubblicazioni è traduzioni in altre lingue. Hè statu creatu per studienti università è hè statu longu usatu in una varietà d'istituzione educazione cum'è una di e guidari principali di studiu. Dà datu teoricu è abilitori pratichi. Hè publicata prima in u 1948.

Algoritmu di a ricerca di funzione

Per studià i mètudi di a funzioni di calculu diffirenti, hè bisognu di seguità l'algoritmu chì hè definitu:

1. Truvate u duminiu di a funzione.
2. Truvate i radichi di una equazioni dovutu.
3. Calculate extreme. Per fà quessa, calculate a derivativa è i punti induve hè ugguali cero.
4. Sustituitu u valore ottimatu in l'equazioni.

Varieghji di ecuazioni diffirenti

DU di u primu l'ordine (in altre parolle, u càlculu diffirinziali di una variata) è i so tipi:

• Equazione cù e varieoti separanu: f (y) dy = g (x) dx.
• L'equazioni simplici, o u calculu diffirinziali di una funzione d'una variàbila, anu a formula: y '= f (x).
• Un DN nondalguminu lineale di u primu l'ordine: y '+ P (x) y = Q (x).
• L'equazioni diffirinziali di Bernoulli: e '+ P (x) y = Q (x) y ^a .
• Equazione cù i diferenciali totali: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Equazzioni diffirenzali di u secondatu è i so tipi:

• Una equação diferenciala homogeneia lineale di u second order cù valute constantemente di u coefficient: y ⁿ + py '+ qy = 0 p, q pertenece à R.
• A equação diferenciale non-geosistema lineale di u second order cù un valore constantu di i coeficienti: y ⁿ + py '+ qy = f (x).
• Ecuazione differenziale lineale homogenee: y ⁿ + p (x) y '+ q (x) y = 0, è una equu non-geoogeneia di u second ordinu: y ⁿ + p (x) y' + q (x) y = f (x).

Equazzioni diffirenzali di i rigioni superiore è i so tipi:

• Equazzioni Differential chì permettenu l'ordine di diminuzione: F (x, y ^(k) , y ^{(k + 1)} , .., y ⁽ⁿ⁾ = 0.
• L'equazioni linearichi supiriori hè unicu: e ⁽ⁿ⁾ + f _(n-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0 e non-uniforme: y ⁽ⁿ⁾ + f _{(n -1)} y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x) .

Passi di risolve un prublema cù una equazioni diffirinziali

Cù l'aiutu di u DU, non solu e quistioni matematichi o fisichi sò risolti, ma ancu parechje prublemi da bioluggìa, ecunumia, sociologia è altri. Invece una larga varietà di temi, unu deve seguitu una sola sigurezza logica solu quandu issendu questi prublemi:

1. Dove un DM. Una di e fasi più difficiuli, chì esige una precisione massima, postu chì qualchì errore averà da risultati sbagliati. Hè necessariu piglià in contu tutti i fatturi chì influirenu u prucessu, è per stabilisce e cundizzioni iniziale. Hè ancu esse basatu nantu à fatti è inferenzi logichi.
2. Solució di l'equazioni compilatu. U prucessu hè simplice più cà u prima puntu, postu chì solu bisognu di rigorochi matematii stritti.
3. Analisis e evaluazione di i risultati. A suluzione resultanti deve esse evaluata per stabilisce u valore praticu è teoricu di u risultatu.

Un esempiu di l'usu di l'equazioni diferenciale in a medicina

U usu di DM in u campu di a medicina si trova in a custruzzione di un mudellu matematicu epidemiulogicu. Ùn deve esse eseguite chì equestri equazioni si trovanu ancu in a bioluggìa è a chimica, chì sò vicinu à a medicina, perchè hè impurtante per studià e diverse prutezione biologica è i prucessi chimichi in u corpu umanu.

In l'esempiu di l'epidemica, ponu cunsiderà a diffusion di infezzjoni in una sucità isolata. L'abitanti sò spartuti in trè tippi:

• Infatti, numeru x (t), cumpostu di e persone, vitturi di infizzioni, chì ogni cunnessione hè cuntaggiu (u periodu d'incubazioni hè curtu).
• A siconda spezia inclui l'individui suscettibile di y (t), capaci di cuntrattu quandu si in cuntattu cù l'infizziatu.
• A terza spezia inclusa l'individui non-prossimi z (t), chì sò immune o muriu per a malatia.

U numaru di i persone ci hè constante, i registrazioni di nascita, i morti naturali è a migrazione ùn sò micca cunsiderati. Ci sò dui ipotesi in a basa.

U percentualità di morbidità à un certu tempu hè x (t) y (t) (l'assuntu hè basatu annantu à a teoria chì u nùmeru di casi hè proporzionale à u nùmeru di intersezzione trà e pazienti è sustinibbili rapprisintanti, chì in a prima apprunzazioni serà proporzionala à x (t) y (t), in A causa di questu, u numuru di i casi aumenta, è u numaru di pirsuni sensibuli cassa cù a velocità, chì hè calculata da a formula aingura (t) y (t) (a> 0).

U numaru di individuelle insensibili chì anu cumprati una immunità o morsi anu da scorri à una rata proporcionala à u nùmeru di casi, bx (t) (b> 0).

In u risultatu, pudemu scrive un sistema di iquazziona cunse in tutte e trè indicatori è scurdate cunsezioni nantu à a basa.

Esempiu di usu in l'ecunumia

U calculu diffirenzjuali hè spissu usatu in analisi ecunomica. A cumpagnia principali in l'analisi ecunomicu hè u studiu di quantità da l'ecunumia, chì sò scritti in a forma di una funzione. Questu hè utilatu per risolviri prublemi, cumu i cambiamenti di l'inguera immediatamenti dopu l'aumentazione di l'imposti, l'intruduzioni di i funzioni, i cambiamenti in l'ingaghjamentu di l'impresa, quandu u valore di a pruduzzioni cambiassi, in quali proporzioni pò sustituiri l'usi di sustituitu da u novu equipamentu Per risolve questi dumandesi, hè necessariu di custruisce una funzione di link entre i varianti cumandanti, chì sò studiati cù calculu diffirenti.

hè spessu necessariu à truvà u spettaculu più température in u settore ecunomicu: prufundità massima impianti, u mediu più, u minimu costu, è cetara è cetara. Ogni tali spinta hè una funzioni di una o cchiù argumenti. Per esempiu, a pruduzzione pò esse cunsideratu cum'è una funzione di lu travagghiu e capitali. In sta volta, truvannu un valore adatta pò calà a truvarisi u pesu o di u minimu di na funzioni di una o cchiù variàbbili.

Vergogna à prublemi di creà una formula di prublemi extremal in u campu di economicu, per ch'ellu vi tuccherà calculu diffirinziali. Quandu hè necessariu u pressure ecunomicu à minimize o maximize cum'è una funzione d 'àutri paràmetri, u funzione massima puntu inquadramentu incrément à l' argumenti vi tendini à zeru se lu incrément di l 'argumentu tenni a zeru. Altrimenti, quandu un tali strana tenni a un certu valuri di pusitivu o di nigativu, u puntu renseigné ùn hè micca bonu, perchè da crescita o di paisi dimostra l 'argumentu si pò mudificà a valurizazioni dipindenti à a direzzione àutri. In m calculu diffirinziali, issu si dì chi i cundizioni di necessariu per calculà funzione hè un valori zeru di u so derivative.

L'ecunumia ùn hè micca prublemu nata di truvarisi u Extremum di una funzione di diversa variàbbili, perchè indicatori ecunomica hè cumpostu di parechji fattori. Vergogna à tematiche sò ancu capitu in lu la tiurìa di e funzioni di diversa variàbbili, lu mètudu di machine à l 'diffirinziali. Vergogna à prublemi ùn sò solu maximized e funzione minimized, ma dinù inevitevuli. Sti dumanni cuntari a prugrammazione matimatica, è ch'elli sò solving cu l 'aiutu di i metudi di speciale sviluppatu sò basatu dinù nant'à stu ramu di li scienzi.

À mezu à i metudi di calculu diffirinziali usata in l 'econumìa inniana, una rùbbrica impurtante hè u testu essential. In lu settore ecunomicu, lu tèrmini si rifirisci a un gruppu di i metudi di a ricerca di curà variàbbili è risultati quandu voi canciari u vulume di a creazione, a cunsumazione, basatu nantu à un 'analisi di i so valori confini. Limitannu nfurmazzioni cunzidiratu derivative o di l 'Derivati parziale cù diversa variàbbili.

calculu diffirinziali di diversa variàbbili - un tema impurtante di anàlisi matimàtica. Per un studiu info, pudete puru aduprà una varietà di Bellezza duttrina di istituzioni educazzioni supiriuri. Unu di u più famosu Fikhtengol'ts creatu - "di i diffirinziali e lu calculu integrata." Quantu di lu nomu di la suluzzioni di iquazziona diffirinziali di una impurtanza à avè u so sapè à u travagliu cù integrals. Quandu ci hè un calculu diffirinziali di e funzioni di una variàbile, la dicisioni addiventa fàcili. Puru, ùn deve esse nutari, si seguitanu u listessu règuli funnamintali. In pratica, a ssu la funzioni di u calculu diffirinziali, appena seguità u algutitimu già esistenti, chì hè datu in liceu, è solu un pocu cumplicatu cù i testi di novu e variàbili.