Un sistemu di iquazziona algebbrica linéaire. sistemu Homogeneous di iquazziona algebbrica linéaire

À a scola, ognunu di noi studiau l 'equazzioni è, di sicuru, u sistemu di equazioni. Ma micca tanti pirsuni a sapiri chi ci sò parechje manere di scioglie elli. Oghje noi vi vede esattamente tutti i metudi di risolviri un sistemu di iquazziona algebbrica linéaire, chì sò cumposti di più di dui equazioni.

storia

Oghje sapemu chi l 'arte di risolviri iquazziona è u so sistema urighjinaria in anticu Babylon è in Egittu. Tuttavia, parità in a so forma pràticu affaccatu à noi dopu à u doppiu di u signu agguali "=", chì fù iniziatu in 1556 da casa discugràfica matimaticu ngrisi. By lu modu, stu simbulu fù sceltu per un mutivu: lu significa dui spichji paru tempu. Infatti, u megghiu esempiu di parità ùn cullà.

U fundatore di lettering mudernu e simboli, di puntu scunnisciutu, lu matimàticu Francese Fransua Viet. Tuttavia, u so appillazioni hè assai differente da oghje. Per esempiu, una piazza di un numaru scunnisciutu ch'ellu lassatu da lu lettera Q (lat "quadratus".), È lu cubo - (. Mas "cubus") la littra C. Sti simboli, avà parenu arriatu, ma tandu era a manera più intuitive à scrive un sistemu di iquazziona algebbrica linéaire.

Tuttavia, un futuru a li metudi prevailing di suluzione hè chì un matematicu anu cunsideratu solu i radichi pusitivu. Forsi chistu è duvutu a lu fattu ca li valuri nigativu nun hannu nuddu applicazioni pratica. Una strada, o altru, ma u prima à esse cunsideratu radiche tinta si messe dopu à l 'matematica italiana Michele Tartaglia, Cusani è Raphael Bombelli in u 16u seculu. A ochju muderni, lu mètudu principale di risolviri iquazziona quadratic (à traversu discriminant) fù stabilitu solu in lu 17u seculu, à traversu l 'òpiri di Descartes è Newton.

In u mezu di u matimaticu Swiss 18u seculu, Gabriel Cramer trovu una nova manera di fà a suluzione di sistemi d 'equazioni linéaire fàcili. Sta pratica fù dopu chjamatu dopu ad ellu, è à stu ghjornu avemu aduprà. Ma nant'à u metudu di cultura l'Kramer un pocu più tardi, ma per avà avemu da dumandassi iquazziona linéaire è a so suluzione fora da u sistemu.

iquazziona linéaire

iquazziona Catering - l 'equazzioni sèmplice cun variàbbili (s). Si riferighjenu à l 'algebbrica. iquazziona linéaire scritte in forma generali sicuenti: a ₁ * x ₁ + una _{2 *} X ₂ + ... e _Traduction * X _Traduction = b. Suttumissioni di sta forma noi hè di prucede in i priparazioni di sistemi e matrices on.

Un sistemu di iquazziona algebbrica linéaire

A definizione di issu termine hè: un gruppu di iquazziona ca hannu unknowns cumune è i suluzioni generali. Tipicamenti, à a scola tutti i solving un sistemu cù dui o ancu trè equazioni. Ma ci sò sistema cù quattru, o più cumpunenti. A Canzona di vede prima cumu a scrìviri li falà tantu chì dopu fù favurèvule à scioglie. Didàttica, u sistemu di iquazziona algebbrica linéaire vi taliari megghiu si tutti i variàbili sò scritti cum'è X cù l 'accogliu currispunnunu: 1,2,3 and so on. Dopu, si avissi a purtari tuttu u equazioni a forma canonical: u ₁ * x ₁ + una _{2 *} X ₂ + ... e _Traduction * X _Traduction = b.

Dopu à tuttu sti passi, putemu ricuminciari a dicu quantu à truvà i suluzioni di sistemi d 'equazioni linéaire. Assai assai per chì vi vene in matrice avanti.

matrici

Matrix - un tavulinu chì si componi di filari e colonne, è u so 'elementi sò à a so Intersection. Stu ponu esse sia un valore o variàbbili specifichi. In più casi, à disignau elementi chi sò almanaccatu suttastanti la subscripts (p.e., a ₁₁ o ₂₃ bè). A prima Index indica u numeru fila, e lu secunnu - Colonna. matrices sopratuttu cum'è sopra, è ogni altru elementu matimatica pò fà parechji funziunamentu. Cusì, si pò:

1) Scassinatore è aghjunghje u listessu pesu di u tavulinu.

2): multiplica li matrici a ogni numeru o di vettore.

3) Transpose: scambià linii matrici in i culonni, e la culonna - in linia.

4): multiplica li matrici, s'è u numeru di fili hè uguali a unu d 'iddi nu nummiru diffirenti di culonni.

À dumandassi in tecnica tutti sti tecnichi, mentre ch'elli sò utuli à noi in lu futuru. Subtraction è agghiunta di matrices hè assai sèmplice. Siccomu avemu piglià u listessu matrici taglia, ogni elementu di una tavula hè ligata à tutti l 'àutri elementu. Cusì avemu aghjunghje (scassinatore) dui di issi elementi (hè impurtante chì si tense u listessu terra, in u so matrices). Quandu multiplicate da u numaru di matrici, o vettore voi vèniri multiplica ogni elementu di a matrice da chì numaru (o di vitturi). Transposition - una dimarchja assai ntirissanti. Assai ntirissanti volte à vede ci à a vita vera, per esempiu, quandu faci u muvimentu di u scrive, o telefunu. U suciale nant'à u by hè una matrice, è incù un cambià di postu, hè transposed è diventa u largu, ma decreases in altu.

Andemu studià più una dimarchja cum'è matrici municipal. Macari nuatri ci dissi, è ùn hè interessante, ma esse cuscenza hè sempre interessante. Aumintava dui matrices ponu esse solu sottu à i cundizioni chì u numeru di colonne, in una tavula hè uguali à u numaru di fili altri. Avà piglià elementi una ligna matrici e àutri elementi di l'coluna currispundente. li multiplica a iddi e poi summa (i.e., per esempiu, un pruduttu di elementi ₁₁ è _12, è à ₁₂ B è ₂₂ B sarà uguali: un * B _{11 12} + ₁₂ * B è _22). Cusì, una sola bagagliu tavulinu, è un mètudu similar to hè pienu di più.

Avà pudemu principià à guardà quantu à scioglie i sistemi di iquazziona linéaire.

Gauss

Stu cantu fattu accuminciò a pigghiari postu à a scola. Avemu cunnosce assai bè u cuncettu di "sistema di i dui iquazziona linéaire" e sacciu comu si scioglie elli. Ma ciò chì s'è u numeru di iquazziona hè più chè dui? Stu noi vi aiuta lu mètudu Gauss.

Di sicuru, stu mètudu hè favurèvule à aduprà, s'è vo fari 'na matrici di u sistemu. Ma ùn vi pò niari lu è esaminà u so propriu.

So, quantu à scioglie si da un sistemu di iquazziona linéaire Gauss? By lu modu, puru siddu sta pratica è chjamatu dopu à ellu, ma scupertu lu in i tempi antichi. Gauss hà un funziunamentu purtatu fora incù l 'equazioni, à risultatu saria in a tutalità di forma échelon. Chì hè, vi tuccherà à cima-falà (se currettamente locu) da u prima di l 'ùrtimu iquazzioni arridducìrisi unu scunnisciutu. In autri paroli, avemu bisognu di fà sicuru chi avemu a francisata troppu hè, dì, trè iquazziona: u prima - trè unknowns, in la seconda - dui in u terzu - unu. Allora, da l 'urtima' iquazzioni, avemu trovu a prima scunnisciutu, rimpiazzà u so valore à a seconda, o la prima 'iquazzioni, è truvà più l' autri dui variàbbili.

duminiu di Cramer

Di u sviluppu di sta tecnica hè pesciu à ammaistrà u sapè fà di più, subtraction di matrices, oltri ca comu lu bisognu à esse in gradu di truvà determinants. Per quessa, s'è vo sò arriatu facennu stu tutti, o ùn sapete, hè necessaria à amparà è esse furmatu.

Cosa hè u criticu di stu mètudu, e quantu a fari accussì, pi pigghiarisi un sistemu di iquazziona linéaire Cramer? Hè assai sèmplice. Avemu bisognu di fà custruisce una matrice di numari (guasi sempre) i cuefficenti di un sistemu di iquazziona algebbrica linéaire. A fari sta, ma solu piglià u numeru di u scunnisciutu, è noi acconcianu un tavulinu in l 'ordine chì sò arregistrata in u sistemu. Se prima di u numaru hè un segnu "-", allura avemu scrìviri studium negativu. Allura, avemu fattu a prima matrici di i cuefficenti di u unknowns, ùn macari lu numaru dopu à l 'signu agguali (di sicuru, chì l' equazzioni hà à esse di calà à u furmulariu canonical quandu i diritta hè ghjustu un numaru, e lu manca - tutti i unknowns cu cuefficenti). Tandu vi tuccherà à fà uni pochi di matrices - unu per ogni variàbbili. Per stu scopu, in la prima matrici hè sustituitu da unu Colonna ogni numari Colonna cù i cuefficenti dopu à u segnu uguali. Cusì avemu ottene una pochi di matrices è tandu truvà u so determinants.

Dopu avemu trovu l 'avvisu, hè piccula. Avemu una matrice iniziale, è ci sò parechji matrices dirivati, chì currisponde à e variàbili differente. To get una suluzione sistemu, noi avemu la determinant di u tavulinu isciutu u determinant primaria di u tavulinu. U numaru isciutu hè u valore di una variàbbili. Grafia simile, avemu trovu tutti i unknowns.

àutri pràtichi

Ci sò parechji mètudi in ordine per ottene u definitivu di sistemi d 'equazioni linéaire. Per esempiu, una cusì-chiamatu mètudu Gauss-Giurdanu, ca veni usatu di truvarisi suluzione di u sistemu di iquazziona quadratic, è dinù si lija a l 'usu di matrices. Ci hè dinù un mètudu Jacobi di risolviri un sistemu di iquazziona algebbrica linéaire. Iddu categurìe facirmenti di tutti li computers e veni usatu in informatica.

casi cumplessa

Cumplessità di solitu si faci se u numeru di iquazziona hè menu cà u numeru di e variàbili. Allura putemu certu diri ca, o di u sistema hè cuncòrdanu (vale à dì, ùn hà radiche), o di u numeru di u so dicisioni tenni a infinita. Sè no avemu u secondu casu, - ci vole à scrive la suluzzioni generale di u sistemu di iquazziona linéaire. Si vi sò almenu unu variàbbili.

cunchiusioni

Quì avemu ghjuntu à a fine. À conchiudiri: avemu à capisce ciò chì a matrici sistemu, ampara à truvà i suluzioni generale di un sistemu di iquazziona linéaire. In agghiunta noi cunzidiratu altre scelte. Avemu figura fora quantu à scioglie i sistemi di iquazziona linéaire: elimination Gaussian e lu duminiu di Cramer. Avemu impauriti casi difficiule è altre manere di truvarisi suluzioni.

In fatti, stu scopu hè assai più largu, è s'è vo vulete capisce megliu quessa, avemu cunsigliatu voi à leghje di più di a litteratura spertu.