Linéaire è equazzioni diffirinziali homogeneous di u primu ordine. esempi di suluzzioni

Penzu chi noi deve principiatu cù a storia di u strumentu matimatica gluriusa cum'è iquazziona diffirinziali. Like tuttu u diffirinziali e lu calculu integral, sti iquazziona stati sprummintatu di Newton in la fini di u 17u seculu. Iddu cridia era a so scuperta tantu impurtanti chì ancu u missaghju encrypted, chi oghje si pò traduce a siguenti: "Tutti i codici di a natura discritta da iquazziona diffirinziali." Hè pò quissa una exaggeration, ma hè vera. Ogni drittu di la fìsica, chìmica, bioluggìa, pò èssiri discrittu da sti equazioni.

Un ternu cuntribuzione à u sviluppu è a creazione di a teoria di iquazziona diffirinziali hannu matimàtica di Euleru è Lagrange. Digià in u 18u seculu, si scopri e sviluppatu ciò chì hè avà di studià à i corsi di universitaria maiurone.

A nova tuttu in u studiu di iquazziona diffirinziali messe à ringrazià à Anri Puankare. Iddu creatu un "tiurìa qualitative di iquazziona diffirinziali", chi, nzemmula cu l 'tiurìa di e funzioni di e variàbili è cumplessu cuntribuitu sviluppa à u fundamentu di topuloggìa - la scenza di u spaziu è u so pruprietà.

Cosa sò iquazziona diffirinziali?

Parechje persone sò a paura di a frasa "equazzioni diffirinziali". Tuttavia, in issu articulu noi vi misi fora in tecnica u criticu di sta assai interessante strumentu matimatica chi ùn hè primurosu cum'è cumplissitati comu pari da u titulu. In Pà cumincià à cuntà una equazzioni diffirinziali prima-Pà, vi ci vole prima prènniri cunfidenza cu li cuncetti funnamintali chi sò inherently assuciati cu sta definizione. È noi Mulateri Di L'principiatu cù i diffirinziali.

diffirinziali

Assai genti cunnosce sta parolla dipoi liceu. Però, sempre camperà casca a tecnica. Pensa lu chat di a funzione. Avemu pò aumintari lu in a tali puntu ca ogni di u so cantu diventa 'na linìa. It Mulateri Di L'piglià dui punti chì sò nti vicinu a l 'àutri. A sfarenza trà i so latitude (x o Y) hè dô. È si chjama diffirinziali e caratteri disignau onda (diffirinziali di canta) è dx (l 'diffirinziali di x). Hè impurtante di capisce chì l 'diffirinziali ùn hè micca u valore finale, e chistu è lu significatu e lu funzione principale.

È avà vi tocca à guardà i seguenti elementi, chi noi vi tuccherà à spiegà u cuncettu equazzioni diffirinziali. It - derivative.

derivative

All di noi ci vole aghju intesu à a scola, è sta nuzione. Dicenu chì a derivative - hè a ragione di crescita o di carenza di a funzione. Tuttavia, sta definizione diventa di più cinese. Pruvemu di spiigà i termini derivative di u incisive. Andemuci daretu à l 'funzione tretu dô cù dui punti, chì si trovanu in una distanza minimu da ogni altru. Ma aldilà di sta funzione distanza hè tempu di cambià a qualchi valori. È di discrive chì cambià e cullà cù una derivative chì avaristi spicificatu esse scrittu comu lu rapportu ntra la incisive: f (x) '= DF / dx.

Avà ci vole à guardà a proprietà di basi di l 'derivative. Ci sò solu trè:

1. summa Derivative, o l 'diffarenza pò rapprisintatu comu la summa o di diffarenza di lu Derivati: (a + b)' = un '+ B', e (A ab) '= a'-B'.
2. A siconda a pruprietà è culligatu cu municipal. opere Derivative - hè la summa di l 'òpiri d' una funzione à un altru derivative: (a * b) '= un' * B + una * B '.
3. U derivative di a diffarenza pò esse scritta cum'è u seguenti equazzioni: (una / b) '= (' na '* B * B') / b ^2.

Tutte ste funziunalità ghjuntu in avanti di truvarisi suluzioni à diffirinziali equazioni di u primu ordine.

Dinù, ci sò Derivati parziale. Cridiri avemu una funzione di u z, chì dipende di u variàbili X è Y. Di calculari lu derivative parziale di sta funzione, per esempiu, à x, avemu bisognu di piglià u Y variàbbili di custanti è facile à distinguiréis.

integrata

Un altru impurtanti cuncettu - integrata. In fatti, hè u cuntrariu di derivative. Integrals sò parechji tippi, ma i suluzioni sèmplice di iquazziona diffirinziali, avemu bisognu di u più banale integrals nditerminativu.

So, ciò chì hè u integrata? A Canzona di dì avemu qualchi rapportu f francese di x. Avemu piglià da lu integrata, è venenu (x) (hè citatu à spessu com'è un primitivu) una funzione F, chì hè un derivative di a funzione uriginale. Dunque F (x) '= f (x). Stu significa macari ca la integrata di a derivative hè uguali à a funzione uriginale.

In risolviri iquazziona diffirinziali hè assai impurtante di capisce u sensu è funzione di u integral, dipoi assai spissu hannu a pigghiari li à truvà suluzioni.

U iquazziona sò differente secondu u so 'natura. In a sizzioni: dopu avemu da circà à tippi di prima iquazziona ordine diffirinziali, è po amparà à scioglie elli.

Corsi di iquazziona diffirinziali

"Diffury" divisu da l 'ordine di Derivati intarvena in elli. Cusì ùn ci hè u prima, siconda, terza, o più ordine. Si pò dinù esse divisa in parechje classi: strasurdinariu è parziale.

In stu articulu, ci hà da lagnà u iquazziona diffirinziali strasurdinariu di u primu ordine. Esempii e suluzioni avemu discurriri nzèmmula a l 'seguenti e rùbbriche. Avemu guardà solu u TAC parchì hè u sorta più cumuna di equazioni. Strasurdinariu divisu in vetri: cù e variàbili separable, homogeneous è hétérogène. Next vo vi amparà ch'elli differ da ogni altru, è amparà à scioglie elli.

In più, sti iquazziona pò èssiri misu, tantu chì, dopu niàutri pigghiamu un sistemu di iquazziona diffirinziali di u primu ordine. Tali sistema, avemu dinù taliarlu e amparà à scioglie.

Perchè noi sò cunsidirari solu u primu ordine? Perchè ci vole a principia cù un semplice è numaru di tutte e assuciata incù iquazziona diffirinziali, in una sola articulu hè pussìbule.

Iquazziona cun variàbili separable

Stu hè forse u più sèmplice iquazziona prima ordine diffirinziali. Quessi sò esempi chi ponu esse scritti com'è: y '= f (x) * f (canta). À scioglie stu iquazzioni avemu bisognu di la fòrmula rapprisintanza di l 'derivative comu lu rapportu ntra la incisive: y' = onda / dx. Cù lu noi venenu l 'equazzioni: onda / dx = f (x) * f (canta). Avà si pò fà à u mètudu di risolviri esempi mudellu: separà i variàbili in parti, vale à dì à dighjunu avanti tuttu u Y variàbbili in la parti induve ci hè onda, è dinù fà l 'ex variàbbili ... Avemu ottena un 'equazzioni di a forma: onda / f (y) = f (x) dx, chì hè truvatu da ripiglià i integrals di i dui parti. Ùn vi scurdate di u focu chì vo vulete mette dopu integrazione.

A suluzione di ogni "diffura" - hè una funzione di x da Y (in u nostru casu), o s'ellu ci hè una cundizione numericu, l 'risposta hè un numaru. Andemu esaminà un esempiu béton u web corsu di a decisione:

canta '= 2y * u peccatu (x)

Trasfiriri la variàbbili in indicazione differente:

onda / Y = 2 * u peccatu (x) dx

Avà piglià la integrals. All d 'iddi si pò trova in un tavulinu spiciali di integrals. È noi arrivare:

ja (y) = -2 * cos m (x) + C

Sì bisogna, omu pò ricaccià la "Y" comu na funzioni di "X". Avà pudemu dì chì i nostri equazzioni diffirinziali hè solving, siddu nun pricisatu cunnizzioni. Ponu esse renseigné cundizione, per esempiu, Y (n / 2) = E. Allora noi vi simpricimenti rimpiazzà u valore di sti variàbili in i dicisioni è truvà u valore di u focu. In u nostru esempiu, ci hè 1.

Homogeneous iquazziona diffirinziali prima ordine

Avà nantu à a parti più cumplessi. Homogeneous prima iquazziona ordine diffirinziali ponu esse scritte in forma ginirali comu: y '= z (x, y). It S'avissi a nutari ca la funzioni dritta di dui variàbbili hè uniforme, è ùn pò esse divisu in dui sicondu su: z X è, z di canta. Verificà s'ellu l 'iquazzioni eni homogeneous, o micca, hè abbastanza sèmplice: avemu fari la sustituzzioni x = K * X è Y = K * Y. Avà avemu tagghiau tuttu Égypte. Sì ste lettere sò abbandunatu, allura l 'equazzioni homogeneous è pò viaghjà salvu a so suluzione. Copia nanzu, ùn dì: u principiu di a suluzione di sti asempi hè dinù assai sèmplice.

Avemu bisognu di a fari la sustituzzioni: y = T (x) * x, induve t - una funzione chì dipende dinù nant'à ex. Allora noi pò ricaccià l 'derivative: y' = t '(x) * X + t. Sustituennu tutti sta in la nostra 'iquazzioni uriginale è simplifying ella, avemu u esempiu di u distaccu di e variàbili va com'è ex. Scioglie è fabricà a dipindenza di l (x). Quandu avemu ritrovu quessa, solu rimpiazzà a nostra prima sustituzzioni Y = T (x) * X. Allora avemu venenu da a dipindenza di canta u ex.

Pi fari lu clearer, noi ti capisce un esempiu: x * Y '= yx * E canta / X.

Dopu à cuntrollà i sustituiri di tutte e fine. Cusì, u iquazzioni eni veramenti homogeneous. Avà fà altru sustituzzioni, avemu impauriti: y = T (x) * X è Y '= t' (x) * X + T (x). Dopu à simplificazioni i seguenti equazzioni: t '(x) * X = -e t. Avemu per esaminà pè ottene un campionu cun variàbili spiccate è noi ^{arrivare: e -t = ja (C *} x). Avemu basta à rimpiazzà T da canta / x (perchè si canta = T * x, allura l '= Y / x), e pigghiamu a ^{risposta: e héron / x = ja (} X * C).

equazzioni diffirinziali linéaire di u primu pà

Hè tempu à guardà un altru argumenti grossi. Ci hà da circà hétérogène iquazziona diffirinziali prima-ordine. How do ch'elli differ da i prima dui? A Canzona di risolve lu. Linéaire iquazziona prima diffirinziali ordine in u furmulariu generale di l 'equazzioni ponu esse scritte cusì: y' + cunzunantali (x) * Y = z (x). Si deve esse Cl chì z (x) è aspra (x) pò esse valura custanti.

Quì hè un esempiu: y '- y * x = X ^2.

Ci sò dui modi di scioglie, è noi ordinare Andemu studià à tempu d 'iddi. A prima - u mètudu di variazzioni di constants arbitrarie.

Di scioglie u iquazzioni in sta manera, hè necessaria à equate la prima parti destra-a manu à zeru, è scioglie i iquazzioni favurèvuli chì dopu à u trasferimentu di banni addiventa:

canta '= Y * X;

onda / dx = Y * X;

onda / Y = xdx;

ja | Y | = X ^2/2 + C;

Y = E ^{X2 / 2} * ^C Y = C ₁ * E ^{X2 / 2.}

Avà ci vole à rimpiazzà i custanti C ₁ nantu a funzione v (x), chì avemu da truvà.

Y = TB * E ^{X2 / 2.}

Piglià un derivative sustituiri:

^{canta '= TB' * E X2} / ² -x * n * E ^{X2 / 2.}

E sustituennu sti sprissioni in l 'equazzioni uriginale:

TB '* E ^{X2 / 2} - X * n * E ^{X2 / 2} + X * n * E ^{X2 / 2} = X ^2.

Pudete vede chì in l 'autru latu di i dui termini sò ridutta. Sè qualchì esempiu chì ùn hà succedi, tandu vi aghju fattu calcosa di male. Avemu cuntinuà à:

TB '* E ^{X2 / 2} = X ^2.

Avà avemu scioglie lu solitu 'iquazzioni in cui vi vulete siparari la variàbbili:

die / dx = X ^{2 /} E ^X2 / ^2;

die = X ² * e ^{- X2 / 2} dx.

À caccià u integral, avemu à dumandà u integrazione da parti quì. Tuttavia, issu ùn hè micca u sugettu di stu articulu. Sè vo Patrunu interessatu, vi ponu amparà u so à purtà fora tali azzione. U Populu ùn hè micca difficiule, è incù abbastanza mistieru è adopru ùn hè micca tempu cunsumanu.

Parrava di lu secunnu lu mètudu u definitivu di l'equazioni inhomogeneous: lu mètudu Bernoulli. Cosa accostu hè forti è facili - qualle sin'à voi.

Cusì, quandu risolviri stu mètudu, avemu bisognu di fà la sustituzzioni: y = K * n. Quì, na è n - qualchi funzioni segunda ex. Allora u derivative vi assumiglianu: y '= l' '* Traduction + K * n'. Rimpiazzà dui substitutions in l 'equazzioni:

l '' * Traduction + K * Traduction '+ X * l * Traduction = X ^2.

Group su:

l '' * Traduction + K * ( n '+ X * n) = X ^2.

Avà ci vole à equate à zeru, chì hè a parèntesi. Avà, s'è tù mischjà i dui iquazziona favurèvuli, avemu fabricà un sistemu di iquazziona diffirinziali prima ordine per esse solving:

n '+ X * Traduction = 0;

l '' * Traduction = X ^2.

A prima ugualità dicidiri comu lu solitu 'iquazzioni. Per fà quessa, vi tuccherà à siparari la variàbbili:

D dn / dx = X * TB;

D dn / n = xdx.

Avemu piglià u integrata, è noi venenu: ja (n) = X ^2/2. Allora, s'è no espressai Traduction:

Traduction = E ^{X2 / 2.}

Avà rimpiazzà l 'equazzioni isciutu in u sicondu equazzioni:

l '' * E ^{X2 / 2} = X ^2.

E trasfurmendu, avemu avè u listessu iquazzioni cum'è in a prima mètudu:

publikować = X ^{2 /} E ^X2 / ^2.

Avemu dinù ùn vi discurremu più maiò. Si hè dettu chì a prima iquazziona diffirinziali prima-ordine suluzione nascenu una difficultà. Tuttavia, una immersione nfunnu a lu tema hè principianu pè ottene megliu è megghiu.

Induve sò iquazziona diffirinziali?

iquazziona assai attivu diffirinziali usatu in fisica, cum'è quasi tutti i codici di basi sò scritte in forma diffirinziali, è quelli chì formuli, chi noi vede - una suluzione à issi equazioni. In chìmica, sò à prò di u listessu mutivu: la liggi di basi sunnu chiddi à traversu elli. In la bioluggìa, l 'equazioni diffirinziali sunnu usati a mudillari u cumpurtamentu di sistemi, cum'è predator Traduzioni - preda. Si pò dinù esse usata à creà mudelli di ripruduzzione, per esempiu, culoni di microorganisms.

As iquazziona diffirinziali aiutu in a vita?

A risposta à sta quistione hè sèmplice: nunda. Sè ùn vi sò un scienziatu o di ncigneri, hè prubbàbbili ch'elli vi esse tandu interessante. Tuttavia, micca male à sapè ciò chì l 'equazzioni diffirinziali e lu hè solving per u sviluppu di megliu. E poi la quistioni di un figliolu, o figliola, "ciò chì un equazzioni diffirinziali?" Ùn vi si mette in una fine morti. Beni, s'è vo site un scienziatu o di ncigneri, allura vi cunnosce l 'impurtanza di issu tema in ogni scenza. Ma più ntî, chì avà a quistione "quantu à scioglie i equazzioni diffirinziali di u primu ordine?" vi sarà sempre pudè dà una risposta. Accordu, hè sempre piacevule quandu s'ampara chì ciò chì ghjente sò ancu a paura di truvà fora.

A principale difficultà in u studiu

U prublema maiò in u intelligenza di stu tema hè un viziu di e funzioni integrazione è Cumulus. Sè vo site arriatu pigghiarivi Derivati è integrals, hè forsi tene più à amparà, à amparà differente manere di integrazione è Cumulus, è solu dopu viaghjà à u studiu di u matiriali chì hè stata discritta in l'artìculu.

Certi pirsuni sunnu suspresu à amparà chì dx pò esse spustatu, cum'è prima (a scola) sustìnniru ca li Fraction onda / dx hè indivisible. Tandu vi tuccherà à leghje a litteratura u derivative è capisce chì ghjè u versu di nti piccula quantità, chì ponu esse manipulated in risolviri equazioni.

Assai pirsuni nun capisci subitu chì a suluzione di iquazziona diffirinziali di u primu ordine - sta hè spessu una funzione, o neberuschiysya integral, è stu delusion dà li una mansa di priculu.

Cosa àutru pò esse studiatu à capisce megliu?

Hè megliu à principiatu più immersione in u mondu di diffirinziali calculu di babbone spertu, per esempiu, in analisi matimàtica di i studienti di spicialità non-matimatica. You tandu pò muvimentu à a litteratura di più spertu.

Si hè dettu chì, in più di u diffirinziali, ci sò sempri 'equazioni, affinchì vo vi sempre hannu quarchi cosa di to strive per e chiddu di studià.

cunchiusioni

Avemu speranza chì, dopu, lettura, issu articulu vo vi hannu una idea di ciò chì i iquazziona diffirinziali e come si scioglie li currettamente.

In ogni casu, a matematica in ogni modu interessante à noi in la vita. Si sviluppa a logica è attente, senza chi ogni omu, comu senza mani.