Maclaurin è decomposition di certi funzioni

Studiare matematica avanzata deve esse cuscenti chi la summa di una seria putere in su tretu di cunvergenza di un numeru di noi, hè un numeru cuntinua è illimitatu di volte una funzione diffirinziari. A quistione Nasci: hè si pussibule a sustèniri chi datu un arbitrarie funzione f (x) - hè la summa di una seria putere? Chì hè, sottu à ciò chì e cundizioni la m-tions f (x) pò esse figurata da una seria putere? L'impurtanza di sta questione hè chì ghjè pussibule di sustituiri environ £ Fert f (x) è la summa di l 'prima uni pochi termini di una seria putere, chì hè un polynomial. un tali funzione sustituiri hè sprissioni arquantu sèmplice - polynomial - hè còmuda e in risolviri certi prublemi in analisi matimàtica, dì in risolviri integrals quandu à calculer iquazziona diffirinziali , etc ...

Hè pà, chi per qualchi m m-ii (x), duv'è i Derivati di i (n + 1) ordine -th pò ssiri calculata, cumpresi l 'ultimu a vicinanza di (α - R; X ₀ + R) d 'un puntu x = α fiera fòrmula hè:

Sta fòrmula hè chjamatu dopu à u famosu scinziatu Brooke Taylor. Un numaru di u quali hè dirivatu da lu unu prima, hè chjamatu una seria Maclaurin:

A règula chì parmetti a pruduzzioni crescita in una seria Maclaurin:

1. Definisce Derivati di prima, secunnu, terzu, ... ordine.
2. Calculari ciò chì sò Derivati à x = 0.
3. Pronuncia seria Maclaurin di sta funzione, è tandu à definisce a tretu di cunvergenza.
4. Definisce tretu (-R; R), unni la parti risìdui di fòrmula Maclaurin

R _n (x) -> 0 per n -> infinita. Se unu esisti, si funziunava f (x) deve esse uguali a la summa di l 'seria Maclaurin.

Guardà avà u seria Maclaurin di l 'individuu funzioni.

1. Cusì, u prima à esse f francese (x) = E ^x. Di sicuru, chì u so caratteristiche accussì m-Ia hà dirivatu una varietà di cunfraterne, è f ^{(l ') (x)} = E ^x, induve l' hè uguali à tutti i numeri naturali. Rimpiazzà x = 0. Avemu venenu f ^{(l ') (0)} = E ⁰ = 1, k = 1,2 ... Secondu u foregoing, un numeru di E ^X Ci hà da esse cum'è a siguenti manera:

2. seria Maclaurin di u funzione f (x) = u piccatu ex. specificà subitu chì m-tions per tutti i Derivati scunnisciutu vi hannu, stringhjendu f ^'(x) = cos m x = piccatu (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = piccatu (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(l ') (x)} = u peccatu (x + Traduction * K / 2), unni l' hè uguali à ogni nteru pusitivu. Chì hè, facennu calculi sèmplice, putemu cunchiùdiri ca lu seria di f (x) = u piccatu X sarà like this:

3. Ch'e l'guardà iju f francese-f (x) = cos m ex. Hè scunnisciutu di tutte e Derivati di modu arbitrariu, e ^{| f (l ') (x)} | = | Cos (x + K * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... novu, si ad avè fattu qualchi calculi, avemu trovu chì a seria di f (x) = cos m X vi taliari like this:

Allura, avemu élève la funziunalità cchiù mpurtanti chi ponu esse sviluppata in una seria Maclaurin, ma iddi complement la serie Taylor di qualchi funzioni. Avà li noi vi liste oltri. Si deve dinù esse rimarcatu chì seria Taylor è seria Maclaurin sò una parti impurtanti di u seria attellu di e decisioni in matematica supiriuri. So, series Taylor.

1. U prima hè una seria d 'm-lunar ii f (x) = ja (1 + x). Cum'è in l 'asempi pricidenti, per issu noi f (x) = ja (1 + x) pò èssiri calata un numaru, cù a forma generali di seria Maclaurin. ma per sta funzione Maclaurin pò acquistatu assai cchiù sèmplici. Integrating una seria moderna, avemu fabricà un numeru di f (x) = ja (1 + x) di u campionu:

2. E lu secunnu, chì sarà finali a stu articulu, sarà una seria di f (x) = arctg ex. Per X appartiniri a tretu [-1; 1] hè decomposition valevule:

Chì hè tuttu. In issu articulu aghju taliava la seria più usato Taylor è seria Maclaurin in matematica supiriuri, in particulari in u letteraria ecunomica è tecnicu.